천개의 고원 921-930

작성자
수수
작성일
2021-09-12 10:21
조회
78
수학모델 (921-930)
수학자인 리만이 다양한 것(le multiple)을 술어 상태에서 떼어내 “다양체”라는 실사로 만든 것은 정말 하나의 결정적 사건이었다. 이것은 변증법이 종언을 고하고 다양체의 유형학과 위상학이 시작될 수 있는 길을 열어주었다. 각각의 다양체는 n개의 결정인들(déterminations)에 의해 정의된다.[921]

이 다양체는 비정확 하지만 엄밀하다. 마이농과 러셀은 거리(distance)라는 개념을 채용해 이것을 크기(magnitude)라는 개념과 대립시켰다. 거리란 정확히 말해 분할이 불가능한 것은 아니다. 하나의 결정인이 또 다른 결정인의 일부가 되는 경우 거리는 분할된다. 그러나 크기와는 반대로 거리는 분할될 때마다 반드시 본성이 바뀐다.[922]

가령 운동은 구보, 잰걸음, 느린 걸음으로 나뉠 수 있다. 그러나 이때 분할된 것은 분할의 각 계기마다 본성을 바꾸기는 하지만 그렇다고 해서 이 계기들 중 어느 하나가 다른 하나를 합성하는 요소가 되지 못한다. 이런 의미에서 “거리”의 다양체들은 연속적 변주과정과 불가분의 관계에 놓이는 데 반해 “크기”의 다양체들은 상수와 변수를 배분한다.[923]

우리는 이미 수차례에 걸쳐 이 두 가지 유형의 다양체 간의 온갖 종류의 차이들에 부딪혀왔다.
계량적 다양체와 비계량적 다양체,
외연적 다양체와 질적 다양체.
중앙 집중적 다양체와 탈중심적 다양체,
나무형 다양체와 리좀형 다양체,
셀 수 있는 다양체와 판판한 다양체,
차원의 다양체와 방향의 다양체,
군중의 다양체와 무리의 다양체,
크기의 다양체와 거리의 다양체,
절단의 다양체와 빈도의 다양체,
홈이 패인 다양체와 매끈한 다양체 등.
단순히 분할되면 본성을 바꾸는 다양체(가령 사막의 부족이 그렇다: 즉 끊임없이 변화하는 거리, 항상 변신을 거듭하는 무리들)만이 매끈한 공간에 서식하는 것이 아니라 매끈한 공간 자체(사막, 스텝, 바다 또는 빙원)가 바로 이러한 유형의 다양체로서 비계량적이고 중심이 없는 방향적인 것이다. [924]

(따라서) 우리는 여기서 매끈한 공간 일반의 긍정적인 이중적 성격을 다음과 같이 규정할 수 있을 것이다.
먼저 하나가 다른 하나의 일부를 구성하도록 만들어주는 결정인들이 크기와는 무관하게 감싸인 거리 또는 순서가 정해진 차이를 가리키는 경우,
두번째로는 결정인들이 서로 다른 것의 일부를 이루는 관계가 아니라 계량과 무관하게 빈도 또는 축적 과정과 연결접속될 때, 이것들은 매끈한 공간의 노모스가 나타내는 두 가지 측면이기도 하다.[927]

(따라서) 우리는 항상 매끈한 것에서 홈이 패인 것으로, 또 홈이 패인 것에서 매끈한 것으로 이동해야 할 비대칭적인 필요성에 직면하게 된다. 매끈한 공간의 순회적인 기하학과 유목적인 수가 홈이 패인 공간의 왕립과학에 끊임없이 영감을 제공하는 것이 사실이라면 반대로 홈이 패인 공간의 계량(메트론metron)은 매끈한 다양체의 수많은 기묘한 여건들을 번역하는데 필수 불가결하게 될 것이다. 그러나 번역은 결코 단순한 행위가 아니다. 즉 주파한공간으로 운동을 대체하는 것으로는 충분하지 않다. 일련의 풍부하고 복잡한 조작이 필요한 것이다.[927]
이러한 번역의 풍부함과 필요성을 잘 보여주는 사례를 두 가지만 들어보기로 하자.
우선 강도를 외연적 양으로, 좀 더 일반적으로는 거리의 다양체들을 이러한 다양체를 계량하고 홈을 파는 크기의 체계들로 번역하는 방법들의 복잡성(이와 관련해 대수의 역할을 생각해보라).
둘째(이것이 더 중요하다)는 특히 매끈한 공간의 리만적 조각들이 유클리드적 접합접속을 받아들이는 방법들의 정밀함과 복잡성(미분적 홈파기에서 벡터의 평형성의 역할). 당연히 리만 공간의 조각들에 고유한 연결접속 방법(“축적”)과 리만 공간을 유클리드 공간에 접합접속시키는 이러한 방법(“평행성”)을 혼동해서는 안 된다.
하지만 양자는 서로 결합해 영향을 주고받는다. 어느 것 하나 유한하지 않다. 즉 매끈한 공간이 홈이 파지는 방법뿐만 아니라 홈이 패인 공간이 다시 매끈한 공간이 되는 방법도 물론 매번 가치, 범위, 기호가 달라지게 된다. 아마 모든 진전은 홈이 패인 공간에 의해 그리고 이 공간 안에서 이루어지지만, 모든 생성은 매끈한 공간 속에서 일어난다고 말해야 할 것이다.[928]

그러나 무엇보다 중요한 것은 매끈한 공간은 바로 이를 통해 홈이 패인 공간과의 차이와 관계를 동시에 고려한 일반적 규정을 받아들이게 된다는 것이다.
1) 차원수가 정수로서 일정한 방향을 가진 집합은 모두 홈이 패인 또는 계량적 집합이라고 할 수 있다.
2) 비계량적인 매끈한 공간은 1 이상의 분수 차원을 가진 선과 2 이상의 분수 차원을 갖는 평면의 구성에 의해 성립된다.
3) 차원수가 분수인 것은 본래 방향적인 공간을 가리키는 지표이다(접선을 결정할 수 없으며 방향이 연속적으로 변한다).
4) 따라서 매끈한 공간은 이 공간 속을 주파하는 것[궤적의 흔적] 또는 이 공간 안에 새겨지는 것을 보충하는 차원을 갖지 않는 것으로 정의된다. 이런 의미에서 이 공간은 판판한 다양체, 가령 선인 채로 있으면서 면을 충족시키는 선이라고 할 수 있다.
5) 헤아리는 수 또는 비정수라는 비정확하면서도 엄밀한 형태 속에서 공간 자체와 공간을 차지하는 것은 서로 일치하며 동일한 역량을 갖는 경향을 보여준다(헤아리지 않고 차지하는 것).
6) 이러한 부정형의 매끈한 공간은 근방들의 축적에 의해 만들어지는데, 이때 각각의 축적이 “생성”에 고유한 식별 불가능성의 지대를 결정한다(선이상 평면이하, 평면이상 입체이하).[930]
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