3. 파동역학에서의 이중 해법 이론

3-1 확률
● 입자는 보어와 하이젠베르크의 이론들에서는 확률의 성질을 띠는 퍼텐셜들의 집합체가 된다. 입자는 단지 우리가 관찰이나 측정을 하는 순간에만 이러저러한 위치나 속도를 갖는 것으로 나타날 수 있다.
● ψ 파동은 각자의 확률을 가진 입자의 퍼텐셜들 전체의 표상이다. 이 파동의 외연은 그 파동이 점한 지역의 임의의 한 점에서 그것의 진폭의 제곱에 비례하는 확률과 더불어 그 지점에 현전하는 것으로 드러날 수 있는 입자의 위치의 불확정성을 나타낸다. 268
● ψ 파동 이론은 자신의 표현수단의 구실을 할 준비가 되어 있는 완벽하게 적절한 수학적 형식틀을 발견할 기회를 면전에서 갖게 된다. : 고유함수들, 고유값들의 이론, 고유값들을 급수로 전개시키는 것, 행렬, 힐버트 공간 등

[ 고유함수, 고유값 , 힐버트 공간과 관련된 몇 가지 용어들 및 성질들 ]
- <선형연산자 L>에 대하여 어떤 정해진 경계조건을 만족하는, 항등적으로 0이 아닌(항상 0인 것은 아닌) 함수 Ψi가 LΨi=λiΨi를 만족시킬 때 Ψi를 L의 <고유함수>, λi를 L의 <고유값>이라 한다.
- <선형연산자> : 선형연산자(선형변환, 선형사상, 선형작용소)는 선형결합(또는 일차결합 : 벡터들을 스칼라 배와 벡터 덧셈을 통해 새로운 벡터를 얻는 연산)을 보존하는 < 두 벡터 공간 사이의 함수>이다. 임의의 두 벡터 u, v ∈ W 에 대하여 함수 T가 T(u+v) = T(u) + t(v) 그리고 임의의 스칼라 a ∈ K 및 두 벡터 u, v ∈ W 에 대하여 함수 T가 T(au+v) = aT(u) + t(v)등을 만족시킨다.
- 두 벡터 공간 V, W 사이의 선형변환이 이루는 벡터공간의 기호는 hom(V,W) 또는 L(V,W).
- 양자역학의 대상은 파동함수로 기술하는데, 파동함수는 힐버트 공간의 벡터이다. <힐버트 공간>은 기하학적인 벡터를 <복소함수로 확장>하여 만든 공간이다.
유클리드 공간에서 정의된 기하학적인 벡터의 중요한 성질 두 가지
첫째, 벡터는 방향이 있는 양이다.
둘째, 평행사변형법으로 더할 수 있는 양이고, 독립적인 성분으로 분해할 수 있다.
이로 인해 벡터를 성분을 통해 정의하고 합과 차를 정의할 수 있다. 행렬과 연관됨.
a=(a₁, a₂, a₃), b=(b₁, b₂, b₃)
a+b = (a₁, a₂, a₃)+(b₁, b₂, b₃) = (a₁+b₁, a₂+b₂ ,a₃+b₃)
- 벡터공간의 다른 중요한 성질들 중 하나는 < 완전성(completeness,완비성)>이다. 벡터들의 합(무한개의 벡터들의 합이라도)이 유한하면, 이 벡터들의 합이 하나의 <유한한 벡터로 수렴>한다는 것이다. 이것은 극한과 관련한 논의를 가능하게 해준다.
- 벡터의 개념을 확장하여 복소함수를 벡터로 생각할 수 있다. 즉 복소함수가 벡터와 비슷한 성질을 만족한다면 이것이 <힐베르트 공간>이 된다.
- 복소수 연산
* 두 복소수 z₁ = a₁ + a₂i와 z₂ = b₁ + b₂i 의 합은 평행사변형을 그려 그 대각선으로 나타낼 수 있는데, 이것은 벡터의 합과 같은 방식이다.
z₁+ z₂ = (a₁ + a₂i) + (b₁ + b₂i) = (a₁+b₁) + (a₂ +b₂ )i
* 두 복소수의 곱 : z₁ = r₁(cosθ₁+isinθ₁) 와 z₂ = r₂(cosθ₂+isinθ₂)
z₁ z₂ = r₁(cosθ₁+isinθ₁) r₂(cosθ₂+isinθ₂)
= r₁r₂ { (cosθ₁cosθ₂ - sinθ₁sinθ₂) +i(sinθ₁cosθ₂ + cosθ₁sinθ₂)
= r₁r₂ {cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂)
* z₁² = r₁² {cos(2θ₁) + isin(2θ₁)}
zⁿ = r₁ⁿ { cos(nθ₁) + isin(nθ₁)}
* 오일러의 공식
cosθ + isinθ = e의 iθ제곱, 무리수 e = lim {1+ (1/n)}ⁿ
- 슈뢰딩거의 파동역학을 바탕으로 발전한 양자역학은 계에 대한 정보를 파동함수에 담고 있다. 파동함수는 힐베르트 공간의 벡터로 정의된다.
슈뢰딩거는 입자의 파동함수가 복소수함수라고 생각하였다.
ψ(x,y) = Acos(kx-ωt) + iA sin(kx-ωt), (A는 상수, x는 위치, k=2π/λ는 파수, ω=2πf는 각속도, t는 시간 )
ψ(x,y)
= Acos(kx-ωt) +iA sin(kx-ωt)
= A[cos(kx-ωt) +isin(kx-ωt)] = Aeⁱ⁽ⁿ⁾ (오일러공식, e의 지수 i(n) = i(kx-ωt) = ikx – iωt )
= Aeⁱ⁽ⁿ⁾ = Aeⁱ⁽˜⁾ e⁻ⁱ⁽⌃⁾, ( e의 지수 i(~) = ikx, e의 지수 i(⌃) = -iωt )
∴ ψ(x,y) = Aeⁱ⁽˜⁾ e⁻ⁱ⁽⌃⁾

● 형식적 완성도와 실재에 대한 충실성은 구분해야 한다. 실재에 대한 충실성은 일종의 발견능력 그리고 탐구에서의 다산성으로 나타난다. 그런데 파동과 입자관계에 대한 비결정론과 확률이론은 이러한 발견의 능력을 잃어버렸고 점점 현저해지는 자가구성적인 형식주의 속에 갇혀 버린 듯하다. 269
● 확률이론은 단지 그것이 물리적 개체를 측정 주체와의 관계에서 나타나는 것으로 고려하기 때문에 확률적일 수 있다. 측정이라는 사건이 개입시키는 관계의 우발성에도 불구하고 물리적 개체의 존재 자체에 자립 잡은 확률들의 회귀 같은 것이 있다. 270

3-2 관계와 개체
● 이중해법 이론의 기저에는 관계가 존재의 가치를 갖는다는 것, 그것이 존재에 부착되어 있으며 진정으로 존재의 일부를 이룬다는 생각이 있다. 관계가 측정의 관계이든, 아니면 에너지 교환을 포함하는 다른 사건이든 간에, 이 관계를 세우는 도구를 보유하는 것은 개체이다.
● 관계는 존재의 가치를 갖는다. 그것은 개체화하는 작용이다. 270
관계는 언제나 퍼텐셜의 형태로 존재한다.
● 형식론의 입장은 개체가 관계 이전에 상정된다고 가정한다. 그러면 관계는 개체의 에너지적 상태들의 조건에 종속됨이 없이 순수한 방식으로 계산 가능하다.
실재론에서 관계는 언제나 개체 쪽의 작용을 함축하는 에너지 교환이다. 모든 관계는 구조를 변형하며, 모든 구조 변화는 관계를 변형한다. 272
● 데카르트에 있어서 관계는 개체의 일부가 아니며 그것을 표현하지도 변형하지도 않는다. 그것(관계)은 실체와 관련하여 우연이다. 불확정성이론이 한 점에서의 현전의 확률을 거기서 현전해야 하는 “개체를 고려하지 않고” 계산할 때, 이 이론은 개체에 대한 데카르트의 생각을 적어도 내재적으로 보존한다.
● 데카르트와 불확정성 이론에서 (이 결정론과 이 비결정론에서) 동일하게 남아 있는 것은 “작동하는 작용”이아니라 “개체에 대한 사건으로서의 결정”이다. 273

3.3 두 가지 질문
물리적 개체로서의 광자 개념의 사용의 한계들은 무엇인가?
빛의 연속적이고 파동적인 특징이 현상을 산출하기 위해 작동하기 시작하는 경우들에서 무엇을 빛의 실재적 근원으로 간주할 것인가?

3.4 장의 산출
● 자기장을 산출하는 솔레노이드의 전류가 멈추었을 때, 자기장도 멈추는데 갑자기 모든 점에서 동시에 그런 것이 아니라, 전자기파의 속도와 더불어 장의 기원 즉 솔레노이드의 기원으로부터 퍼져나가는 섭동perturbation을 따라 그러하다.
: 렌츠의 법칙에 의하면 자기장이 변하면, 그 변화를 방해하는 방향의 전류가 흐른다.
- 솔레노이드에 흐르던 전류가 줄어들면 자기장도 감소(변화)하는데, 그때 자기장의 감소(변화)를 방해하는 방향으로 전류가 흐르고, 이 전류에 의해 자기장이 생긴다.
- 솔레노이드에 흐르던 전류가 끊어지면, 자기장이 갑자기 감소해서(변해서) 이 감소(변화)를 방해하는 전류가 흐르게 되고 그래서 전류가 끊어져도 자기장이 갑자기 없어지지 않는다.
- 자기장이 변하면 그 영향으로 전기장이 생기고 그 전기장이 변하면 그 영향으로 자기장이 생긴다. 이렇게 “자기장의 변화”는 “전기장의 변화”와 쌍을 이루어 “전자기파를 발생”시킨다.
● 임의의 전자기장이 변형될 때 광자의 개체성을 제시하기는 상당히 어려워 보인다. 물리적 속성들 안에서와 마찬가지로 산출 양태(장의 산출양태?)들 속에서도 유사한 공식과 “진정한 연속성”이 모든 전자기적 관계를 이어주고 있다. 275
● 장이 실재하기 때문에, 이 진동수 0 에 상응할지 모르는 무한한 파장의 파동을 실재한다고 가정해야 할지도 모른다. 그러나 그러면 에너지 알갱이의 개체성은 이 에너지를 복사하거나 받아들이는 물리적 존재자들 밖에서는 그 의미를 잃는다. 276
: 파장의 진동수가 0이면 위상변화가 없으므로 전자기파가 아니라 자기장 또는 전기장으로만 존재하고, 그때 개체성에 대해 말하기 어려울 것이다.
● 에너지 교환은 자기장을 창조하는 솔레노이드와 그것과 일정한 거리를 두고 회전하는 회로 사이에 일어난다. 장이 더 이상 존재하지 않을 때 이 에너지 짝짓기의 가능성은 더 이상 존재하지 않는다. : 발전기에서 ( 솔레노이드로 감긴 전자석 / 전자석이 만든 자기장의 자속의 양이 시간에 따라 다르게 통과하도로 회전운동을 하는 회로 ) 276

3.5 전자들의 식별가능성
● 두 개의 전자를 결정된 두 상태에서 발견할 확률은 그것들이 상호작용할 때 번호를 매기는 방식과는 무관하다. (칸과 크발) 이 동일한 입자들의 식별불가능성은 에너지 준위들에서 교환의 축퇴(하나의 에너지 준위에 두 개 이상의 상태가 존재)를 낳는다. 또한 파울리의 배타원리가 여전히 타당한지도 물을 수 있다. 278

3.6 간섭현상과 광원
● 비국소화된non localisé 장에서 간섭실험을 고찰할 때 이 빛의 파동들은 동시적인 두 근원에서 방출되게 한다.
: 두 파동의 위상이 같게 만든다.
: 동일한 위상의 파장을 가진 두 개의 파동을 만들기 위해, 단일한 근원에서 나온 빛이 그 단일한 근원에서 똑같은 거리에 있는 두 개의 슬릿을 통과하도록 한다.
: 간섭현상 - 진폭과 파장이 같은 두 파장이 한 곳에서 만날 때, 두 파동의 위상차가 없으면 파동의 마루와 마루가 합쳐지고 골과 골이 합쳐져서 진폭이 두 배로 커져서 파동이 강해지고(보강간섭) , 두 파동의 위상차가 반파장이면 파동의 마루와 골이 만나서 진폭 0 이 되어어 파동이 약해지는 (상쇄간섭) 현상이라고 한다. 278
● 텅스텐 필라멘트 한 조작으로 구성된 광원은 필연적으로 수 만개의 원자들을 포함한다. 그러므로 매 순간 아주 많은 수의 비동시적인 진동자들이 빛(광원)으로부터 방출된다.
: 그렇다면 진정한 동시성이 존재하는가? 278
● 빛의 연구를 그것을 산출하는 광원의 연구에 결부시키는 것은 흥미로울 것이다.
: 광자의 개체성은 그것을 산출하는 진동자와도, 그리고 이 진동자를 자신의 일부로서 포함하는 계와도 완전히 무관한 것으로 간주될 수 없다.
: 동일한 에너지계 안에 포함된 모든 진동자들은 서로 간에 일정한 짝짓기를 하게 될지도 모른다. 이 짝짓기는 진동수의 동시성만이 아니라 진동자들 사이의 상의 동시성을 실현할 수 있을지도 모른다.
: 광자들의 개체성은 이 근원의 체계적 공통성에 의해 어떤 방식으로 변용되고 두드러지게 될지도 모른다.
* 레이저
시몽동의 말처럼 보통의 광원에서는 무수히 많은 원자들이 진폭이나 진동수, 위상이 서로 다른 파동을 독립적으로 방출한다. 그래서 동일한 위상의 빛들인 레이저의 발생과정은 흥미롭다. 타운스와 쇼로우가 1958년 레이저의 원리를 제시하고, 1960년 마이만이 루비결정을 이용하여 펄스형레이저를 개발하는데 성공하였다.
헬륨(85%)과 네온(15%)이 들어 있는 공진관에 높은 전압이 걸리면 들뜬 상태가 된 많은 헬륨 원자는 상당한 시간이 동안 들뜬상태에 <준안정 상태>로 존재한다. 헬륨원자가 바닥상태의 네온원자와 충돌하여 헬륨의 에너지를 네온에 주고 네온 원자는 <준안정 상태>로 들뜨게 된다. 이 과정이 계속되면 들뜬 상태의 네온 원자가 바닥상태의 네온원자보다 많게 된다(<밀도반전>). 이렇게 밀도 반전된 네온원자는 전이되면서 빨간색 빛(632.8mm)을 방전관에 방출한다. 이 빛에너지가 다른 네온 원자에 전파되면 에너지의 전파를 받은 네온원자는 같은 파장, <같은 위상>의 빛을 유도 방출한다.
유리관의 축에 평행한 광자는 유리관 끝의 거울에서 반사되어 오면서 다른 네온 원자를 같은 진동수 같은 위상으로 <산사태와 같이 많은 원자들>이 <동시에 유도 방출>되게 만든다. 양쪽 거울 사이를 왕복운동하면서 빛은 증폭되고 한쪽 거울로 빛이 통과해 나오는데, 이것이 레이저 빛이다.
빛의 진동수가 같고 위상이 같으면서 같은 방향으로 진행할 때 이 빛을 간섭성 빛(coherent light) 이라고 한다. 레이저 빛은 파장이 일정하고 위상이 동일하게 인위적으로 간추려진 빛이다.
● 별에서 나오는 빛도 간섭현상을 야기한다. 광원으로 간주된 별 위에서 파장과 관련하여 서로 간에 아주 멀리 떨어진 부분들로부터 나오는 광자들의 동시성은 어디에서 유래하는가?
: 아마도 간섭들이 생겨나는 기구로부터 유래할 것이다.
: 그렇지 않으면 각 광자가 각각이 절반인 두 개의 에너지 양으로 나뉘어져서, 그 반쪽의 광자가 스크린 위에서 다른 반쪽과 간섭을 일으키게 될지도 모른다고 가정해야 한다.
● 이 모든 이유로 광자에 물질적 입자와 같은 자격으로 물리적 개체성을 부여할 수는 없을 것 같다.
: 광자의 개체성은 그 진동수와 그것이 실어 나르는 에너지량 hν에 비례할지도 모른다. 이 개체성은 결코 완전해질 수 없다. 어떤 진동자도 무한한 진동수를 산출할 수 없고, 만약 무한한 진동수를 가지는 광자라면 진정한 물질입자와 동일시될 수 있을지 모른다.